Aufgabenstellungen


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Sehr viele mathematische Problemstellungen können als Optimierungsaufgaben betrachtet werden, so zum Beispiel die Lösung einer Matrizengleichung, bei welcher der Fehler minimiert wird. Dabei handelt es sich um ein lineares Optimierungsproblem. Lineare Optimierungsprobleme sind sehr weit verbreitet und reduzieren sich umgekehrt auf die numerische Lösung eines linearen Gleichungssystems. Wir werden uns hier allerdings auf zwei Typen von nichtlinearen Optimierungsproblemen konzentrieren, welche viel anspruchsvoller sind und für Ingenieure und für Programmentwickler von besonderem Interesse sind.

Die wohl interessanteste Aufgabe von Ingenieuren besteht in der "Erfindung" und Weiterentwicklung von Objekten, welche vorgegebene Aufgaben mit vorgegebenen Spezifikationen erfüllen. Beispiele sind elektronische Schaltungen, Systeme bestehend aus einer Vielzahl von Komponenten, ebenso wie einzelne Komponenten. Im einfachsten Fall der Weiterentwicklung bewährter Objekte geht es dabei darum, einzelne Parameter der Systeme oder der Komponenten zu optimieren. Derartige Aufgaben werden allerdings numerisch sehr aufwendig, wenn die Anzahl der Parameter hoch ist und wenn die erforderliche Simulation der Objekte rechenintensiv ist. Beides ist oft der Fall. Noch anspruchsvoller ist allerdings die "Erfindung" neuer Objekte, z.B. neuer Schaltungen. Dabei sind nicht nur Parameter zu optimieren, sondern auch die inneren Strukturen der Objekte. Obwohl gewiefte Ingenieure zumindest bei der "Erfindung" von Objekten die bestehenden Optimierungsprogramme meist übertreffen, ist anzunehmen, dass es sich hier so verhalten wird wie beim Schachspiel und dass sich dies in Zukunft drastisch ändern wird. Auf jeden Fall bildet die Optimierung von Objekten den Schwerpunkt dieser Vorlesung.

Werden Simulationsprogramme mit Optimierungsprogrammen verbunden, so bedeutet dies, dass das Optimierungsprogramm ein Modell erzeugt und dann das Simulationsprogramm aufruft um die Eigenschaften des Modells zu bestimmen. Dabei sind stets Tausende oder Millionen von Programmaufrufen erforderlich. Die Anforderungen an das Simulationsprogramm sind hier wesentlich höher als bei der Simulation von Objekten, welche von einem Entwicklungsingenieur erzeugt wurden. Es ist zu beachten, dass das Optimierungsprogramm zum Teil absurde Modelle erzeugt, welche aber korrekt simuliert werden müssen, da sonst der Optimierungsprozess gestört wird. Die Simulationsprogramme müssen deshalb effizienter und robuster sein als dies bei den heute gängigen Programmen der Fall ist. Die Entwicklung besserer Simulations- und Optimierungsprogramme kann wiederum als Optimierungsproblem aufgefasst werden. Wir werden derartige Programmoptimierungen zumindest ansatzweise betrachten.


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