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Übersicht

Numerische Optimierungsverfahren wurden zum Teil bereits vor der Entwicklung moderner Computer entwickelt. Dies gilt insbesondere für die konventionellen Verfahren, welche die lokalen Optima (Minimal- oder Maximalwerte, d.h. Extremalwerte) von reellwertigen Funktionen mit einer oder mehreren reellen Variablen, mit oder ohne Nebenbedingungen suchen. Die Theorie solcher Methoden ist gut ausgearbeitet. Die entsprechenden Codes erweisen sich in einfacheren Situationen als leistungsfähig, erweisen sich aber für kompliziertere Aufgabenstellungen, welche Ingenieure häufig antreffen, als ineffizient oder unbrauchbar. Wir werden uns deshalb mit diesen Verfahren im ersten Teil nur relativ kurz befassen.

Insbesondere bei Optimierungsproblemen mit vielen lokalen Optima und bei komplizierteren Problemen, bei welchen nicht alle Parameter reellwertig sind oder bei welchen die Funktionen viele Unstetigkeitsstellen aufweisen sind sogenannte stochastische Verfahren sehr vielversprechend. Kennzeichnend für diese Verfahren sind ein Gemisch von zielgerichteter Suche und Zufallssuche, eine noch wenig ausgearbeitete Grundlage trotz relativ einfacher Struktur der verwendeten Codes und die mehr oder weniger deutliche Inspiration durch Optimierungsvorgänge, welche anscheinend in der Natur anzutreffen sind. Da Ingenieure sich häufig mit komplizierten Optimierungsproblemen konfrontiert sehen, bilden stochastische Verfahren den Hauptpfeiler dieser Vorlesung.

Leider erweisen sich die einfachen stochastischen Verfahren in der Praxis oft als zu wenig effizient, insbesondere wenn die Funktion deren Extremalwerte zu finden sind (Fitness- oder Kostenfunktion) numerisch aufwendig ist. Dies ist in Ingenieurproblemen fast immer der Fall, da die Berechnung der Fitnesswerte meist eine numerische Simulation von Bauteilen, Schaltungen oder Systemen erfordert. Um die Effizienz zu steigern müssen Optimierungsverfahren den Gegebenheiten angepasst werden. Dies kann wiederum als komplizierter Optimierungsprozess verstanden werden. Dabei stehen insbesondere die Verallgemeinerung und die Kombination bestehender Methoden im Vordergrund. Beides führt zu einer höheren Komplexität der Programme und erschwert bzw. verunmöglicht die theoretische Analyse der Verfahren. Effiziente Verfahren sind deshalb theoretisch kaum erfasst und basieren hauptsächlich auf Erfahrung. Dies ist der zweite Pfeiler dieser Vorlesung, welcher wesentlich durch Übungen gestützt wird.


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